Geometria Analitica: Conicas: Circunferencia

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\,$ .

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

$x^2 + y^2 = r^2\,$ .

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,

$(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,$

se deduce:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,$

resultando:

$a = \frac{-D}{2}$

$b = \frac{-E}{2}$

$r = \sqrt{a^2 + b^2-F}$

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\,$ ,
la ecuación de la circunferencia es:

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,$

Tangente

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, $\R^1$ .
Si $\scriptstyle \mathcal{C}$ representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta $\scriptstyle \overline{AM}$ tendrá como coeficiente director (o pendiente):

$\frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Donde $\scriptstyle (a,f(a))$ son las coordenadas del punto $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle (x,f(x))$ las del punto $\scriptstyle M$ . Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será:

$\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es $\scriptstyle T_A$ :

$y = f'(a)\cdot(x-a) + f(a)$

Secante

La recta secante (lat. secare "cortar") es una recta que corta a una circunferencia en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.
Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante. Para ello en matemáticas se emplea la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

$y=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}x+\frac{x_Ay_B-x_By_A}{x_A-x_B}$

Geometria Analitica: Conicas

Sobre las conicas... ¿Qué son?

jueves, 28 de octubre de 2010

Circunferencia

No hay comentarios:

Publicar un comentario