Una
circunferencia es un conjunto de
puntos del
plano equidistantes de otro fijo, llamado
centro; esta distancia se denomina
radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del
círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el
perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de
coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (
h,
k) y
radio r consta de todos los puntos (
x,
y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada
circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
![(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uhG7EsdsYKYAfN-nbvZBjCfchOxR9oW3SbobLuqJObDdNbz-LnbF62VdiaqS15Dh7JPKcDhgMIsIeZc8CPYtsXLu9TbmP5bfc6idx-0ROQ-uGZnCEZvY48SD244FIambr3jQL8iHn7KJGXkBEX=s0-d)
se deduce:
![x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vWnhfFVd5qQ85eZ6hrSzfCpyqt7x_6VBzJOZaeTERHs5ogsIw33anCG4eBrmShT5SkfFTPbq4GLBP7eUUh4x6Ge7W0Hhg1MP-VWeaeoj76Gh_Li433MqXhXuVjjK3lCkEmdLZpg7FvZJpoVPpPxQ=s0-d)
resultando:
![a = \frac{-D}{2}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s2eWQpf017l5ScTmVs1izMM8c5GFVTD7zWl7CgSS4FEXWJfPGY1IU2UuZBQnl3cujQHp_4qsVjKNZuHRBSsGG883KTG5TPSAEZ-KMPWF8vhM-YX3RV7rBvk8R_AbzAp8VZ1RPFOfAbEavC46wh=s0-d)
![b = \frac{-E}{2}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u9jwDACkO1_3Bqx-UxrZtT-9mffW24ryc7RNy-69wGfFb1SZm8e9T4zIDS3vLvacuZK6vkAnHcJn-1KuGf0KMmAUbfHMtScUXlBgotiZLCFTZrl4HZbmxpL0m9cOyoaJINCwQAVqqmbGxvvuf8bA=s0-d)
![r = \sqrt{a^2 + b^2-F}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unBwva9j5g5bOxUUKxl9v16EAT0XVXKrT9gK7bRl6HjuAQCZ1Lx73xtdv5gOpdnoZ-HmAzRPY5uDzWn2jlZNJd1D8Tn5sPEFGV7_lc-2Vq3z2lZft6A95i-m_B2KmEF3HYmq0tO5AKvy0yvo3Lqw=s0-d)
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:
![(x_1,y_1), (x_2,y_2)\,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uA3wLEv9kzRIMl6KVADAH8PiiNw2EB7QSlgxGCc6iIc4BdmOw1JA6Xc1yFcKppG4jyYdi7dIGo2u0IKX0r--D3QuiCP83QtjF0h1Zv4jnsASXNOIH1XF2QrBGzJoLXjVKDNDS4mPq0XAAdK_Jz7A=s0-d)
,
la ecuación de la circunferencia es:
![(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tn3KSP8B1URXMjdllFHS8JtF5-40cLCwvZCaQoGaz7v5D1mHCP93TUWBIn9X0pZpBvxAeSNoetB7THp5IRIOmF9i_mWg7Du6KitT0YLsi8Mb8QK3G0WBOE3kwOMG1Mzjx-AJGNu1nb9g0ii_7t=s0-d)
Tangente
Una
recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de
espacio tangente a una
variedad diferenciable de dimensión 1,
![\R^1](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uJUF5wq6q2lw-oW_D3usAlJzrcAXXRExzo1gmCQ2xP8_h7CC8TTfkm4IU142pw4rFl7eMmScE_arqhVAh1gyCbKTvwYBrdC-hPdjdaWE2aO2Gt3NQZv0BNXq2Okp3NupyrybFCgEr-0Il-2ZvKUg=s0-d)
.
Si
![\scriptstyle \mathcal{C}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sHxtZeoZrp_htjxXYAZKXWifqNlru7MRxxM2sTkmAMiU7piucObdkBVnJq4Wu2f5VdsyqCHluNeYLrni5Dib2yDinpj8zVB9yU8-B2jj7sDxZsvWcBNRYJP7eUT7w0V1ptSFFGag4CcmohuSa10Q=s0-d)
representa una función
f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta
![\scriptstyle \overline{AM}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vLfXE8-E3fNdCBTgiSEbcVl-robZwTtnokrorcdl6BFfo0_L_NSM15F9rZYnPifCBVFM_bBwtKTEqXFlxWz2f_3wz1NL9SzU16Y8tuDjYCuVoJAI1OZsdAFLQGEZ-NG4pedJHutbrxdtPFXTYI=s0-d)
tendrá como coeficiente director (o pendiente):
![\frac {f(x) - f(a)} {x - a}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_so0nX-H8BpNWR5xMhKuDt5Cw02bvNtEawuvJzH-KOSeh9_dcin3uMcoZ00LU8x4UdFTW2uduC0Cy8lEBfD7jWi3YfJ9MpFwX9hAtWyzjMa2GuPUjePCpIC9pt_oO-Cef44fKUaszBDYD1wHONF=s0-d)
Donde
![\scriptstyle (a,f(a))](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v0I1u1VxSdptP4Y85ezDejZhuC-WgqeLjl3mXJ48P49C0PBtxSErvfM1CfDxWwqveQIZvLuFZCfE37q3QJmTj0PuQzCJWKeO3f4_uwtoWoiq94i5do-VsBmEeXGbUC0GnDqwOLvx5ajPZM5dyk=s0-d)
son las coordenadas del punto
![\scriptstyle A](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_svbY0_qS7uihFcZd8s3LESEAv-cE00R2VhAL0-Aw6HC_I1j924pxt8WpTIfE1jU7DEaAgBp9yZR_AgBZRK7SDAFiVwJr-qjeLSgmPd8gXCvqLlAnZD5rux1heLPZsTV_rrB1oQpC_BSWi8Rvap1A=s0-d)
y
![\scriptstyle (x,f(x))](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sVGdOHC4Mc6TMmbnVPlnrV_ob4zPVo1gBV59a4w7x7cirK4jJSI2qi90kyDMk1HySBUXEqHAH_E4_zMyFDG6fJp-gnI15bEmVsYVixnWgbNwkEcEfRCCAAaD4vpvDPEDzPUiKB_r7_GgcQTFDrFA=s0-d)
las del punto
![\scriptstyle M](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tUPwClNn7e-BVl3GYdk6xcNfUGZhIxjs2fcvaL5T25SwQRsDpa21WnEkX82mnmh2uSS3PGFrtKJ8Q7oGRvDTggXhkClh3nrU_QGfm3Cwa-SNsnrT0dlI9PNoELM4GzymY5EYh5vuDN8csG0xTUhw=s0-d)
. Por lo tanto, la pendiente de la tangente T
A será:
![\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v1_3qARrT6IbeTrebjrvmiX4iejenGm_2s5hTy3fwIL401SxVCRVW_9PRdyl7K4GFaGxB8k4LfAoUzKVpNA6aXA4B4HUEbAlGkOfVAzG645ixEwE9EH1mDJSb7eK0tysLoL7ru0hKishb9skZtSg=s0-d)
Es, por definición, f '(a), la
derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es
![\scriptstyle T_A](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uM5S24ESP2yqf27UD0MHgMyC7RONsWAUOfXw03X4Ao4pY0tGioXjKygqNrW_Zv456fyZDC3S9vQ5NF01OLwonasP-_5gLYx4Uo3p9a8j1RV0hkcY22BOemK3Z2Fxx-2HZ0BsWPMD-N-TzL7YUqWw=s0-d)
:
![y = f'(a)\cdot(x-a) + f(a)](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tucn0_3aj-02oIoivM-g_jIBxkeYp6WgditMyvAUpE8qL0Wk6I0q7ETX0Ry-iDCeOMqGgXkgJ1-2t_qrnzWoSpzg5ontjHgVlCzhUGqqk6W8DIoT2c8Uw3QH6Y_r5vHEMGpjRtsC2zyw6Z5ryx=s0-d)
Secante
La
recta secante (
lat. secare "cortar") es una recta que corta a una
circunferencia en 2
puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de
recta tangente.
Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante. Para ello en matemáticas se emplea la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
![y=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}x+\frac{x_Ay_B-x_By_A}{x_A-x_B}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uIwNOLb_hMHDLfaTmcuYyxDrb730buDJMOHQGHOm_rXlJOXEMlNB3JMx20MTpIcWzzYczomVo0l3Y5pWUzm4n8Jl6GBYDQymYv14GTKh2TY8r5AiZg4Eesrr3FoeBc9UoJzdwt9bggge3CXdVyJA=s0-d)
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